El Suicidio y El Círculo

Historia de la Matemática - El Suicidio y El Círculo

Matias Alinovi
Yossef ben Matityahou nació en Galilea en el año 37 de nuestra era. Tenía veinticinco años cuando aquella provincia del imperio conoció una serie de revueltas contra el ocupante romano. Yossef tomó parte en la insurrección y cuando fue sofocada viajó a Roma para conseguir de Nerón la liberación de algunos compañeros insurrectos. Inesperadamente, en Roma fue procesado y encarcelado. Popea, la esposa del emperador, intercedió por él y obtuvo su liberación.

De vuelta en Jerusalén vio estallar la gran revuelta judía del año 66. Designado comandante en jefe de la Galilea insurrecta, formó un ejército y organizó su defensa. Pero al cabo de un año de enfrentamientos dispares, el futuro emperador Vespasiano lo sitió en la ciudad fortificada de Jotapata. Cuarenta y siete días duró aquel sitio. Cuando los romanos tomaron finalmente la plaza, los hombres de Yossef prefirieron el suicidio al cautiverio. Yossef, solo, logró escapar.

Una cisterna providencial le sirvió de escondite. Se sumergió en ella y descubrió que se ramificaba en una caverna, invisible desde el exterior. Allí encontró escondidos a otros cuarenta rebeldes –un hombre, y otros cuarenta, en una caverna secreta: los motivos orientales se repiten–. Aquellos hombres eran zelotes, la facción más radical de cuantas por entonces luchaban por una Judea independiente del imperio. Porque algunos mataban con un cuchillo curvo, la sica, los romanos los llamaban sicarios. Dos días permanecieron escondidos, sin novedad, Yossef y los cuarenta zelotes, pero al tercero fueron traicionados por una mujer que reveló a los romanos el lugar del escondite. Vespasiano, que creía que la suerte de aquella campaña se decidiría en cuanto apresara a Yossef vivo, envió entonces a dos tribunos para que lo exhortaran a la rendición. Vociferando, los tribunos evocaron la clemencia natural de Roma para con los vencidos, y razonaron que el ardoroso coraje de Yossef, lejos de estimular el odio de los generales romanos, ya había conquistado su admiración. Yossef los escuchaba convencido de que sería entregado al suplicio.

CULTURA PROFETICA
Pero durmió y soñó y al despertar juzgó que el sueño había sido profético. Había visto las calamidades futuras del pueblo judío, y luego el destino glorioso del pueblo romano, y entendió que la voluntad de Dios era que se entregara a los romanos, “no como un traidor, sino como su servidor”.

Así que, vociferando también, hizo saber a los tribunos que estaba dispuesto a rendirse. Fue decirlo y verse rodeado por las dagas de los sicarios, que le anunciaron del modo más convincente que sólo podría entregarse como hombre muerto. La determinación de los zelotes no sólo prefería el suicidio personal al cautiverio: exigía lo mismo de todos. En rigor, Yossef era el único hombre en Judea que estimaba la vida por sobre todas las cosas.

Lo que siguió en aquella cueva fue una larga controversia sobre el suicidio, en la que Yossef buscó oponer razones sensatas al fanatismo zelote, en vano. Al final aceptó, o fingió aceptar, su destino. Con la misma elocuencia que antes, razonó entonces que la salida era la muerte, pero pidió que se aceptase una modificación mínima al plan zelote. Porque ahora estaban seguros de que iba a morir, los zelotes lo escucharon benevolentes. Yossef propuso entonces evitar el trámite del suicidio matándose unos a otros, “puesto que sería injusto que una vez muertos los otros, alguno cambiara de parecer y decidiera seguir viviendo”. Es claro que hablaba por él.

Yossef explicó entonces que la suerte designaría a un primer hombre como el verdugo de un segundo hombre, también designado por la suerte, y que la operación se repetiría hasta que no quedara ninguno.

Así se hizo. Cada segundo hombre designado por la suerte presentó resueltamente el cuello a su verdugo. Cada hombre que moría lo hacía reconfortado por la idea de que muy pronto llegaría también el turno de Yossef, “porque antes que la vida preferían la idea de compartir con él la muerte”. Pero casi todos los hombres murieron, y cuando quedaron los últimos tres, Yossef persuadió a los otros dos de que lo mejor era seguir viviendo.

Yossef se entregó y fue conducido ante Vespasiano, a quien vaticinó su próxima ascensión al trono. Luego fue trasladado a Roma. Con el cumplimiento de la profecía obtuvo la ciudadanía romana y pasó a llamarse Flavio Josefo. La prodigalidad supersticiosa de Vespasiano le asignó además una pensión, una esposa, un solar en Judea y una casa en Roma, antigua residencia del nuevo emperador. Nosotros le debemos cuatro libros en griego. El episodio del suicidio de los zelotes pertenece a La guerra de los judíos.

TRADUCTORE-TRADITORE
Ahora bien, ocurrió que en el siglo IV el original griego fue traducido al latín por Ambrosio, el maestro de Agustín, o por Rufino de Aquilea, el traductor de Orígenes. Esa traducción no es fiel al original, sino que incurre en supresiones y en interpolaciones, y en el episodio del sorteo el traductor inventa que Yossef sugirió a los zelotes disponerse en círculo y, recorriéndolo, asesinar a cada tercer rebelde hasta que no quedara ninguno. También en la versión latina, Yossef es uno de los tres sobrevivientes.

Si el traductor fue Ambrosio, que escribió que incendiar las sinagogas era un acto glorioso, no es difícil imaginar qué lo impulsó a inventar un azar alternativo. En la versión latina ya no es la Divina Providencia la que salva a Yossef, sino su sola astucia calculadora: Yossef habría propuesto aquel método porque sabía de antemano qué lugar del círculo debía ocupar para ser uno de los tres sobrevivientes. ¿Pero cómo podía saberlo?

LA LEY DEL CIRCULO
Los problemas de eliminación tienen una larga tradición matemática, y están inspirados quizás en episodios históricos, como la decimatio romana –-literalmente, eliminar uno de cada diez–, instrumento extremo de disciplina militar que castigaba los motines o los actos de cobardía de las legiones. La versión más popular al final del medioevo es la que recoge el matemático italiano Niccolò Tartaglia: “Un barco que transporta quince moros y quince cristianos es sorprendido por una tempestad. Para aliviar el peso del barco el capitán propone arrojar quince personas al mar. Las víctimas deberán elegirse disponiendo a los pasajeros en círculo y, a partir de un cierto punto, arrojando cada noveno hombre al mar. ¿De qué manera deberán ubicarse los quince cristianos para salvarse?”.

Pero el primero que asoció el nombre de Josefo con los juegos de eliminación fue un plagiario de Tartaglia, Girolamo Cardano. En su Practica Arithmeticae Generalis (1539), Cardano describe la misma versión del juego llamándola ludus Josephi, y esa asociación perduró hasta nuestros días. Euler fue el primero, en 1775, en encontrar la recurrencia para el último sobreviviente.

La última versión del problema aparece quizás en Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science (1989), libro de texto omnipresente en todo departamento de computación de toda facultad de ciencias de toda universidad del mundo. Allí se lee: “Prefiriendo el suicidio a la captura, los rebeldes judíos escondidos en una gruta decidieron formar un círculo y, recorriéndolo, matar a cada tercera persona restante hasta que no quedara ninguna.

Pero Flavio Josefo, al igual que un cómplice desconocido, abominaba de aquel suicidio insensato, así que determinó rápidamente dónde debían ubicarse, él y su amigo, sobre el círculo vicioso. El ejercicio consiste en encontrar una fórmula general para resolver el problema (para n personas, k-1 restantes)”.

Detrás del último enunciado anodino de la matemática discreta está la determinación fanática del pueblo de Judea por resistir ante el invasor, la traición de Josefo, su nueva vida en Roma, y un traductor ignorado que se tomó algunas libertades teológicas. Pero lo que se advierte, sobre todo, es una inquietud estética por convertir un enunciado matemático en una pieza narrativa. Quizá convenga recordarlo hoy. Como en el caso de las paradojas, la mayor fortuna de la matemática recreativa será respetar la tradición de un género literario.

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